Моя задача – упростить вашу жизнь. Приведу 6 простых способов как решить квадратное уравнение. Парочку из них НЕ дают на уроках 90% учителей, но именно эти способы являются самыми эффективными и быстрыми.
«Как решить квадратное уравнение?» – этот вопрос делит жизнь школьника на ДО и ПОСЛЕ. До была тайна о существовании таинственного Дискриминанта. После осталось только разочарование: зубрежка формулы этого самого D и поиск корня из него.
Решение квадратных уравнений начинает новый раздел математики. Они есть везде: алгебра, геометрия, тригонометрия. Лучше пораньше научиться решать квадратное уравнение, чтоб не плутать в следующих темах.
Ну что ж, разберем как решить квадратное уравнение за 5 минут?
6 способов решения квадратных уравнений:
1. ФСУ (формулы сокращенного умножения)
Сначала хочу напомнить, что такое квадратное уравнение.
Оно имеет видAx 2 +Bx+C = 0 Причем А не может быть равно нулю,а B и C могут.
Таким образом, квадратное уравнение обязательно должно иметь перед старшим членом переменную в квадрате. На все остальное все равно.
Уравнение
А вот такое:
Ну что ж, с определением разобрались, теперь давайте перейдем к поиску решений!
Я хочу научить вас разным хитростям, чтоб вы умели искать корни НЕ только с помощью дискриминанта. Начнем со способа, о котором вы точно знаете и…не используете
1. Формулы сокращенного умножения (ФСУ)
Давайте начнем с самого простого способа. Это уравнения, в которых спрятались формулы сокращенного умножения. Их прелесть в том, что НЕ нужно считать дискриминант или подбирать корни.
Но, как говорится: «В чем подвох?» — он в том, чтоб разуть глаза и увидеть собранную формулу. Это просто. Нужно лишь знать формулы…и уметь подставлять на их места разные буквы и цифры. Этим и займемся.
Сначала освежим память и приведем примеры решения:
Разность квадратов
Опр: Разность квадратов – это разность оснований умноженная на сумму оснований
Опр: Основание – в данных формулах это «a» и «b» то, что возводится в квадрат
Теперь покажу, как эта формула выглядит в «природе», а не на страницах учебника:
Вы поняли, что в качестве a|b, может выступать, что угодно? Число, переменная, число с переменной, выражение? Теперь осталось только играть в прятки с математикой – будьте Шерлоком, который ищет эти самые a|b под масками простых смертных чисел и коварных букв. Это достаточно увлекательно и помогает сэкономить время.
И еще запомните:
1 в любой степени это 1!!!
1 2 =1 1 10 =1
Хочу на всякий случай показать, что же произойдет дальше после разложения уравнения на множители.
Логика такова, что раз уравнение (состоящее из множителей) обращается в ноль, то хотя бы один из множителей равен 0…а второй существует (для более сложных уравнений).
Итак, решим 2 линейных уравнения:
И вот наши корни. Понятна прелесть формул сокращенного умножения? Уравнения решаются в 3 строчки!
Переходим к следующему чуду способному облегчить вашу жизнь.
Квадрат разности/суммы
Опр: Квадрат разности – первое основание в квадрате минус удвоенное произведение первого на второе + квадрат второго
Опр: Квадрат разности – первое основание в квадрате плюс удвоенное произведение первого на второе + квадрат второго
Примеры Квадрата Разности:
Примеры Квадрата Суммы:
Эта формула еще проще предыдущей – у уравнения всего 1 корень. Смотрите:
Мы же имеем права так расписатьквадрат? Два множителя одинаковые? Значит, и корни у них так же будут одинаковыми – следовательно, нужно решить всего одно линейное уравнение:
Теперь посмотрим, что можно придумать с квадратом суммы?)
Вы уже догадались, что здесь работает та же логика? Кстати, попробуйте начертить параболу, которая задается формулой квадрата суммы и разности. (Разгадку найдете дальше в статье).
Формулы сокращенного умножения позволяют разложить квадратный многочлен на линейные множители. Линейное уравнение решается элементарно и без ошибок в счете.
Дал вам 3 самые распространенные формулы сокращенного умножения. Тренируйтесь пока на них.
В последствии можете добавить в свой арсенал формулы кубов.
К сожалению, маловато знать формулы сокращенного умножения для решения квадратных уравнений. Поэтому мы движемся дальше к простым, но действенным способам.
2. Вынесение
Когда каждое слагаемое содержит в себе один и тот же множитель, то его можно вынести за скобки.
На всякий случай напомню, что такое вынесение.
Вынесение – деление каждого слагаемого на один и тот же множитель, и выставление его за общие скобки.
Используется в неполных квадратных уравнениях (уравнения без «C»)
В результате, если вы обратно умножите вынесенный множитель на члены внутри скобок – должен получится исходный многочлен. Ну это уже для самопроверки.
На первых порах, когда вы еще не уверены в содержимом внутренностей скобки – не стесняйтесь письменно делить каждый член на выносимый множитель.
Так вы точно не потеряете единицу, дробь или еще какую-нибудь математическую штуковину, которая не хочет быть потерянной.
Почему же этот способ «для геймеров». Он незапарный, быстрый, не надо запоминать формулы. Быстро «порешал» все корни и пошел в компутатор резаться.
Если серьезно: он позволяет как минимум сократить ненужные переменные, которые осложняют счет, а как максимум разложить квадратное уравнение на линейные множители:
(Просто вынесли 13 за скобку – облегчили счет)
(Разложили квадратное уравнение на 2 линейных множителя. Уже посчитали корни?)
Примеры использования:
Если вы разобрались с вынесением за скобку…то следующий метод получится легко!
3.Группировка — Почему проверенные решения приводят к ошибке? (вид уравнения A+B+C+D)
Метод группировки не самый простой. Но я котирую его выше дискриминанта.
Во-первых, если его регулярно тренировать – развивается математическое мышление. Вам проще подойти к сложным неравенствам и уравнениям высокого порядка.
Во-вторых, в нем меньше ошибок в счете. Сколько раз вы просчитывались на обидную единицу в дискриминанте? Знаете сколько баллов упкстили ученики на экзаменах из-за ошибок в счете? Лучше не знать – примерно 1/3 всех потерянных баллов – это банальная арифметика.
Так что давайте учиться группировать!
При наличии большого количества слагаемых 4 и болeе, часто используется метод группировки.
Группировка — это метод, при котором все слагаемые разбиваются на группы по какому-то признаку {по наличию переменной или множителя}
Видите, сначала мы используем метод вынесения за скобку одного множителя, а потом… уже выносим за скобку «целую скобку».
Посмотрите на пример, мы же можем сказать, что (x – 1) стоит и при y, и при z? Значит, и вынести его также можно. Вот и получилось 2 простых линейных множителя).
Примеры использования:
4. Дискриминант
Дискриминант (вид уравнения Ax2+Bx+C = 0)
Самый долгий метод для решения квадратных уравнений, но зато надежный как швейцарские часы.
Приведу формулу, который должен знать любой школьник (даже НЕуважающий себя)
Пример использования:
По правде, я не люблю этот способ. Больно он муторный и расслабляет учеников. Им лень думать: подбирать корни, искать формулу сокращенного умножения, группировать. Школьники действуют, как собаки Павлова: вижу квадрат – считаю Дискриминант.
Однако, есть у Дискриминанта одна суперспособность.
Тайные знания дискриминанта
Бывает, что решение сводится к поиску существования корней. Да и нередко при решении сложных задачек с параметрами приходится отталкиваться от количества решений.
Здесь нам поможет дискриминант.
Посмотрите на картинку. Я показываю, как располагается график квадратичной функции при разном значении дискриминанта.
Количество корней можно определить по дискриминанту.
При положительном D – 2 пересечения с осью Ox, а значит и 2 корня.
При отрицательном D – пересечений с осью Ox нет, а значит и корней нет.
При D = 0 – всего 1 корень. Кстати, вы догадались, что это за случай? Да, полный квадрат: суммы, разности или просто ax2. Теперь понятно, почему у квадрата суммы /разности всего 1 корень? Парабола только касается оси Ох, не пересекая ее.
Понятное дело, что с перевернутыми параболами все ровно так же. Не важно куда направлены ветви* – важно сколько пересечений с осью Ox! Именно за это отвечает знак дискриминанта.
*Направление ветвей определяется знаком коэффициента при x2 (положительный коэффициент — ветви вверх, отрицательный — вниз).
Где вам пригодится эта информация? Решение неравенств, уравнений, построение графиков, те самые великие и ужасные параметры.
Секрет дискриминанта очень прост, зато добавляет вам огромный плюсик в карму на экзамене.
А теперь перейдем к одному из моих любимых методов. Кроме того, я расскажу вам один трюк – те, кто знают его расправляются с квадратными уравнениями за 50 секунд, пока их одноклассники корпят на Дискриминантом или самопроверкой.
5. Теорема Виета
Теорема Виета (вид уравнения x2+Bx+C = 0, A=1)
Кажется, что теорема Виета слишком сложная? Что проще посчитать дискриминант и быть спокойным за результат? Боитесь ошибиться?
Дадим Виету еще один шанс. И с дискриминантом легко просчитаться в пару единиц. А с Виетом вы хотя бы потратите намного меньше времени.
Только не забывайте, что на месте А всегда должна стоять 1, то есть НЕ должно быть никаких коэффициентов при x2 . Только тогда можно использовать теорему Виета.
Взгляни на алгоритм действий
1) Смотрим на С и разбиваем на 2 множителя {не забывая знак!}
2) Складываем множители
3) Должны получить –b
Тот самый трюк, который решает уравнение за 50 секунд
Есть еще один способ как решить квадратное уравнение. Он супер простой и надежный. Запомните его, это будет ваш туз в рукаве.
Если сумма коэффициентов a,b,c
a + b + c = 0, то X1 =1, X2=с/а
Например: 3x2 + 2х – 5 = 0
3 + 2 + (-5) = 0 – для данного уравнения равенство выполняется, значит, можем легко определить корни.
X1 =1, X2 = –5/3
Если не верите, проверьте через дискриминант)
Если a + c = b, то X1=–1, X2 = –с/а
Например: 3x2 — 2х – 5 = 0
3 + (-5) = -2, для данного уравнения равенство выполняется, значит, можем легко определить корни
X1 =–1, X2 = 5/3
Составителям учебников и экзаменов на самом деле тоже не чужда лень. Поэтому таких уравнений довольно много. Пользуйтесь с удовольствием!).
А мы переходим к методу, который используют от силы 5% старшеклассников. И очень зря..
6. Лучший способ № 2 как решить квадратное уравнение
Переброска (вид уравнения Ax2+Bx+C = 0)
Так как Т.Виета работает только, когда A = 1, нам нужен еще 1 метод, который сможет нам помочь…не считать дискриминант.
Это метод переброски.
Сначала посмотрите на картинку с методом решения. И только потом прочитайте алгоритм. Возможно по началу он покажется вам капельку запутанным, но дайте ему шанс – он способен облегчить ваши труды на ниве математики)
Алгоритм
1) Переносим(перебрасываем) A в С умножением и меняем неизвестное {например X на Y}
2) Находим корни нового уравнения y1 y2 по Т.Виета
3) Разделим корни на A и получим искомые корни x1 и x2
Итак, я поделился с вами 6-ю трюками – как решить квадратное уравнение. Надеюсь, вы будете их использовать.
Их прелесть в том, что они не только эффективны для решения квадратных уравнений, но еще способны прокачать ваше математическое мышление и логику.
А я буду рад видеть вас на своем первом бесплатном занятии. Для записи – напишите мне через форму на сайте, на почту или в сообщения ВКонтакте.
До встречи,
Вам Михаил