Иррациональное уравнение: как решать, как проверять ответы на «вшивость», как справляться с несколькими корнями – обо всем расскажу в статье.
Иррациональное уравнение вводит школьников во взрослую жизнь. Напоминает, что все не так уж просто. Только делает это математическим путем…через ОДЗ (область допустимых значений).
Если вы искали подробные схемы решения иррациональных уравнений. Объяснение простыми словами. Наглядный разбор типов. То попали по правильному адресу)
1. Что такое иррациональность?
2. Как решать иррациональное уравнение? – главная фишка
3. «4 шага» решения Иррационального любого уравнения
4. Различные виды корней:
[su_list icon=»icon: arrow-right» icon_color=»#2a1ae3″ indent=»21″]
- 1) Корень равен числу
- 2) Уравнение с двумя корнями – всего один капкан
- 3) Произведение корня и функции
- 4) Корень равен функции
- 5) Сумма корней
- 6) Корень внутри корня — двойное возведение
[/su_list]
5. Еще 2 подковырки иррациональных уравнений
Давайте сначала введем определение иррационального уравнения.
Опр: Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную в корне или в дробной степени. Не важно какой степени – главное его наличие.
Поиск иррациональности
Кстати, вы же помните, что корень – это просто представление дробной степени? Например, квадратный корень – это степень 1/2.
А кубический корень – это степень 1/3 .
Посмотрите на пример. Тут показано разное представление одной и той же степени.
Следовательно, уравнения с переменными в дробных степенях также являются иррациональными.
Таким образом, можно разделить иррациональные уравнения на 2 вида – по принципу написания степени: с корнем и с дробью.
1. Явный вид {корень виден}:
2. Неявный вид {корень представлен в виде дробной степени}:
Хотел вам напомнить о разных маскировках корня. Пригодится НЕ испугаться необычной записи.
А теперь переходим к сладкому – будем разбираться почему же иррациональные уравнения выделяют в отдельный тип. В чем их подковырка?
Как решить иррациональное уравнение – главная фишка
На математическом пути школьника есть несколько главных преград. Все они связаны с ОДЗ.
Первый капкан – делить на ноль нельзя.
Второй – подкоренное выражения не может быть отрицательным (при условии, что корень четной степени: квадратный, 4 степени, 6-ой…).
Третий – узнаете в статье про логарифмы.
Иррациональное уравнение затаскивает во второй капкан – подкоренное выражение не может быть отрицательным. Равным нулю – ок, может. Но не отрицательным.
Подкоренное выражение не может быть отрицательным
f(x) ⩾ 0
Еще раз оговорюсь, что «неотрицательность» распространяется только на корни четной степени. Кубический корень крутите, как хотите – ему все равно. А вот квадратный – нельзя, математика запрещает.
Что это вам дает при решении иррациональных уравнений? Вы должны проверять корни – действительно ли они существуют. Или с ними подкоренное выражение становится отрицательным?
«4 шага» решения Иррационального любого уравнения
Решение любого иррационального уравнения включает в себя 4 шага:
1) Выписывание и решение ОДЗ
2) Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень (квадратный корень возводим во 2 степень, кубический – в 3, и т.д.).
3) Решение получившегося рационального уравнения (мы избавились от корней, а значит, можем решать уравнение привычным способом).
4) Проверка корней, сверившись с ОДЗ (Вот это самый важный момент. Большинство школьников останавливается на предыдущем этапе – ох, уж эта безответственность к существованию корней!)
Есть 2 способа проверки корней:
– Подстановка корней в исходное уравнение (Первый метод проверки корней: старая добрая подстановочка. Получившиеся корни подставить в исходное уравнение и посмотреть: не появится ли отрицательное число под корнем).
– Проверка корней по ОДЗ (Для тех, кто вышел на новый уровень в математике. Подходит, если корней много: тогда не нужно просчитывать каждый корень по методу подстановки).
Если небеса послали вам корень НЕчетной степени – 4-ий шаг пропускаем. Вам повезло отделаться без проверки.
Пора посмотреть, как теория справляется с уравнениями на практике.
К любому иррациональному уравнению можно применить теорию-скальпель «4 шага». Разберу каждый тип по отдельности. Так вы еще раз увидите закономерности в решении иррациональных уравнений и выстроите свой способ логической расправы с корнями.
Начнем с малого: корень равен числу. Как решить популярную звезду школьных учебников и экзаменов.
Различные виды корней:
1) Корень равен числу
По своему опыту могу сказать, что составителям гос.экзаменов не надоедает это уравнение. Видимо, школьники все еще попадаются в капкан корней.
Просто возведи обе части в квадрат
x – 3 = 9
x = 11
Ответ: 11
Повышаем уровень прокаченности в иррациональных уравнениях далее…
2) Уравнение с двумя корнями – всего один капкан
Снова применяем технику «4 шага»
1) Запишем ОДЗ
Сколько корней, столько и уравнений в ОДЗ
2) Возведем обе части во 2 степень {степень корня}
x + 6 = x2
3) Решение получившегося рационального уравнения
x2 – x – 6 = 0
По Т.Виетте (Если вы считали это уравнение через дискриминант – то обязательно просмотрите статью «Как решить квадратное уравнение – 6 трюков ». Я привел простые приемы решения квадратных уравнений – в школе такое не расскажут).
x1 = 3 x2 = –2
4) Проверка корней. Обратите внимание, что мы записали ОДЗ для обоих корней. Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.
x1 = 3 x2 = –2 оба корня входят в ОДЗ
Ответ: –2 ; 3.
Особенность уравнений с двумя квадратными корнями – в развернутом ОДЗ. Несколько ОДЗ должны быть объединены.
А теперь переходим к правилу, продолжение которого знает всего 10% школьников. А ведь именно в концовке зарыт ключик правильного решения.
3) Произведение корня и функции
Давайте вспомним золотое правило: «Если произведение двух множителей равно нулю, то каждый из множителей равен нулю и оба они должны существовать»
Первая часть правила понятна: нужно приравнять оба множителя к нулю и найти корни – вуаля, уравнение решено.
Так было раньше в светлом прошлом без ограничений ОДЗ. Теперь нужно считаться еще и с существованием множителей – о чем и говорит вторая часть правила.
В случае с иррациональными уравнениями вы должны позаботиться о неотрицательности выражения, стоящего под корнем.
Теперь разберем как в реальных условиях выглядит решение подобного примера!
А теперь перейдем к одному из самых опасных видов уравнений в школьной программе.
4) Корень равен функции
Одно из самых сложных уравнений. Его опасность лежит опять-таки в ОДЗ.
Чтоб научиться его решать – важно понять, что не только подкоренное выражение неотрицательно. Но и то, чему равен корень не может быть отрицательным.
Раскрывается полное ОДЗ корня
Помните, уравнения «корень равен числу»? Корень четной степени никогда не приравнивался к отрицательному значению. Потому что так не бывает в этом мире.
Вот и с этими уравнениями также – только условие неотрицательности нужно прописать ручками в ОДЗ.
Давайте посмотрим на примере:
1) Запишем и решим ОДЗ примера – сделаем самое сложное сначала
2) Возведем обе части в квадрат
3) Решим уравнение
Если б не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень.
4) Выберем корни подходящие в ОДЗ
Если бы мы не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень
Ответ: 3
Осталось всего пару важных нюансов – и вас можно будет назвать Мастером в области решения иррациональных уравнений!
Еще 2 подковырки иррациональных уравнений
Теперь пришло время перестать считать и немножко включить воображение.
Оно может помочь не только на литературе, но и в математике.
Расслабьтесь с ОДЗ
Надеюсь, что я достаточно настращал вас ужасными несуществующими корнями (которые проникают в личное пространство корня и делают его отрицательным). Теперь ОДЗ наконец станет вашим другом?
Но все-таки бывают случаи, когда ОДЗ можно не выписывать. Это такие примеры, где выражение будет неотрицательным при любом значении переменных. Какой бы х вы не подставили – все равно выражение останется положительным или равным нулю.
Разберем на примере.
Когда очевидно, что подкоренное выражение всегда >= 0, то ОДЗ этого корня можно ны выписывать
в данных примерах нет смысла записывать ОДЗ: функции
1) (x2 + 6)
2) (x2 + x + 6) — всегда положительны.
В случае 1. Квадрат + положительное число (попробуйте подставить хоть даже -120 миллионов – все равно ответ будет положительным).
В случае 2. Отрицательный дискриминант. Дискриминант говорит нам, что график этой квадратичной функции – парабола, которая существует, только над осью Ох: значит, вообще не принимает отрицательные значения.
(Если вы не в курсе, почему отрицательный дискриминант стал причиной приведенных рассуждений – читайте статью «6 простых трюков как решить квадратное уравнение ». В ней все доходчиво написано, да еще и узнаете пару способов быстрого решения квадратного уравнения).
Вы поняли: можно сначала окинуть взором подкоренное выражение – мало ли оно всегда неотрицательное. Вам меньше трудов – ОДЗ не надо писать.
Уже попадались уравнения, которые НЕ стоит решать возведением? О них далее…
5) Сумма Корней
Некоторые уравнения НЕ решаются простым возведением в лоб. Если их поставить в квадрат – получаются слишком сложные выражения (и снова с корнями!).
Что делать в таких случаях – немного усовершенствовать.
Посмотрите не примеры:
Вы же помните, что возводим в квадрат мы по формуле квадрата разности/суммы, а не по вандальным способом «школьника, который НЕ выучил правила сокращенного умножения»?))
Возведение в квадрат применяется ко всей части уравнения.
И если потребуется, по формулам квадрата суммы и разности!!!
И поверьте мне, я не зря заостряю на этом внимание
Как делают и как не надо делать….
Это была типичная ошибка новичка. Но в любом случае сразу возводить не стоит
Подробно о том, как просто и правильно возводить в квадрат и решать квадратные уравнения рассказываю в статье: 6 трюков — как решить квадратное уравнение без Дискриминанта.
Сразу возводить в квадрат нет никакого смысла, корни останутся, а пример усложнится
Стоит разбить корни и числа по разным частям уравнения и после возводить в квадрат!
ОДЗ в данных примерах опущено для простоты разбора
5) Двойное возведение
И все-таки бывают случаи, когда приходится пару раз возводить в квадрат. Но сначала – неизменно нужно раскинуть уравнение по две стороны от равно.
Виды уравнений для возведения 2 раза и более
- Матрешечный корень
Дважды (а то и трижды) придется возводить в степень уравнения с матрешечными корнями (под внешним корнем спрятался внутренний).
Пример решения уравнения
Кстати, корни могут быть разной степени. Например, внешний в степени 1/3, а внутренний — 1/8. Подход остается неизменным: сверху вниз снимайте скорлупу корней возведением в соответствующую степень (в нашем примере сначала возведите в 3 степень (избавьтесь от внешнего корня), а потов в 8.
Далее разберемся с уравнениями, в которых ну просто полно корней.
2. Иррациональное уравнение, в котором корней как грязи
Придется несколько раз возводить уравнения в которых слишком много корней. Еще они бывают намиксованы со свободными числами.
Действуйте по уже знакомому вам принципу: разнесите члены по разные стороны от равно. Постарайтесь сделать так, чтоб одинокий корень остался в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.
Пример решения уравнения
Уравнения с несколькими корнями противные (тратите время на последовательное возведение), но несложные. Следуйте инструкции — это самый быстрый и простой метод.
Я постарался не только показать вам шаблоны-способы решения. Но и прояснить логику как решать иррациональное уравнение.
С ним нужно быть аккуратным (ОДЗ), в остальном иррациональное уравнение не такое уж неприступное, как может показаться.
Надеюсь, статья помогла вам разобраться еще в одной непростой теме математики: «Иррациональное уравнение как решить».
Заинтересованы в личном обучении со мной – пишите в сообщения! Я с удовольствием проведу первое занятие бесплатно.
До встречи,
Ваш Михаил
