График модуля, как построить – очень просто. Особенно, если знать несколько закономерностей. О них расскажу в статье. С помощью них вы поймете как построить график модуля легко и играючи. Без поиска пробных точек.
На самом деле построение графиков функций с модулями – это удовольствие. Раньше они вызывали у вас в лучшем случае пренебрежение? Забудьте – после прочтения статьи вы будете первым по скорости построения графика.
Построение различных видов графиков, содержащих модуль:
- Воландеморт среди модулей
- Как калькулятор может помочь при построении графика?
- Как построить график модуля и одновременно решить уравнение
- Война среди модулей
Господа, перед тем, как мы приступим к светской беседе с модулем. (В которой отдадим дань уважения каждому его виду). Я бы хотел обратить ваше внимание, что модуль никогда не бывает отрицательным. Отсюда и все особенности его графика.
Подмечайте фишки каждой функции, но главное – держите в голове его «неотрицательность».
Главный миф о сложности графиков модуля – полный модуль по правой части
Забудьте сказки про сложность модуля – ведь теперь вы скоро узнаете о методе «Зеркало».
Модуль всей правой части y = |f(x)| отражает график относительно оси X. Все, что было под осью Ox зеркально отражается наверх.
Почему так? Обратите внимание, что значение функции (то есть y) является результатом вычисления модуля. Оно не может быть отрицательным. Согласны? Значит, его заменяют на противоположное ему по знаку. А в построении функций эти зеркальные превращения и есть смена знака у функции.
Уже чувствуете себя как Алиса в Зазеркалье? Ничего страшного – объясню на примере:
Пример: y = |X – 3|
Видите, график функции y = |X – 3| состоит из двух ветвей. Первая y = X – 3, а вторая y = – (X – 3) = 3 – X. Все по определению модуля – не придраться. Зеркально отраженная функция и есть противоположная по знаку той, которую отражали.
Можете так себя проверять – сначала просто отзеркальте конец, который улетает в отрицательную бесконечность (под ось Ох). А потом посмотрите, действительно ли он совпадает с минусовой версией подмодульного выражения. Уверяю, если вы были аккуратны – совпадет.
*Читайте понятное определение модуля в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». После ее прочтения вы научитесь расправляться со всеми видами уравнений с модулем с помощью всего 1 инструкции!
А теперь перейдем к функции, которая заставляет поежиться от недовольства слишком многих. Если б они знали, что ее настолько просто начертитить…то стали бы решать уравнения с ней только графически.
Воландеморт среди модульных функций — Полный модуль по правой части
Модуль всей левой части |y| = f(x) отражает график относительно оси X. Все, что было над осью Oх зеркально отражается вниз.
Смотрим, что является результатом вычисления подмодульного выражения? Ага, все, что стоит справа. Значит, в данном случае Рубиконом является ось Oy – отзеркаливаем относительно нее.
Пример: |y| = X – 3
Мы разобрали две базы графиков с модулями. Дальше уже идут вариации с дополнительными математическими па: поднимите график, опустите, сузьте – расширьте. Давайте и их разберем!
Как калькулятор может помочь при построении графика? — График содержащий модуль
Это пример сложной функции, такие функции строятся по этапам. Сложной – не потому что она поддается только сильнейшим умам. Просто в ней собрано несколько последовательных действий: модуль и сложение с «потусторонним членом».
С такими функциями работает способ «калькулятор».
Представьте, что вам нужно вычислить выражение: (217 – 327)/72. С чего вы начнете? Вероятно, с возведения в степень, продолжите подсчетом числителя и только потом перейдете к делению. Будете идти от малого к большому.
Тот же метод работает и со сложной функцией. Начните с ядра и продолжайте справляться со всеми остальными прибамбасами вокруг него.
Пример: y = |x–3| + 5 ( ядром является график прямой y=x-3)
1. Y = X – 3 {строим график прямой}
2. Y = |X –3| {отражаем график относительно оси X}
3. Y = |X – 3| + 5 {поднимаем график 2. на +5}.
Вспомните суперспособности графиков – положительное число поднимает график, а отрицательное опускает (вверх/вниз относительно оси Ox). Причем, нет ничего страшного в том, что модульная галка окажется под прямой Ox (в отрицательной области) – это необходимые последующие действия с графиком.
Иногда в качестве «потустороннего члена» выступает переменная. Тут уж хитрить с отражениями и подниманиями – не получится. Придется раскрывать алгебраически модуль для каждого интервала – и уже по вычисленному выражению чертить ветви графика.
О том, как легко раскрыть модуль – написано в статье – Решение уравнений с модулем.
А мы двигаемся навстречу забора из модуля. По правде, такой вид функций очень полезно уметь чертить. Этот скилл способен сэкономить вам время. Ведь частенько по графику намного точнее и проще найти корни уравнения такого вида.
Как построить график модуля и одновременно решить уравнение — Модуль внутри модуля
Пример: y = ||X–2|–3|
{Порядок действий как при работе со сложной функцией – пользуемся методом «Калькулятор»}
1. Y = X – 2
2. Y = |X – 2|
3. Y = |X – 2|–3
4. Y = ||X – 2|–3|
Согласитесь, что раскрывать уравнения такого типа довольно муторно. Да и велик риск просчитаться. Начертить график и по нему оценить корни (иногда точно их посчитать) супер просто.
Поэтому графический метод решения уравнений нужно эксплуатировать на все 100% именно в этом случае.
Теперь нас ждет один из самых непредсказуемых графиков из всего рода модулей. Никогда не знаешь, что именно он приподнесет. Но и с этой неприятной неожиданностью научимся работать)
Война среди модулей — Несколько модулей
Что делать если в бой вступает сразу несколько модулей? – К сожалению, бороться с ними приходится с помощью арифметики и алгебры. Приходится аккуратно раскрывать на разных областях. Так же, как при решении модульных уравнений – алгебраически.
*Подробнее о том, как раскрывать модуль читайте в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». В ней на пальцах объяснено, как раскрыть забор из модулей и НЕ запутаться.
Y = |X–2|+|X+2|
I ) X ∈ (–∞;–2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «–»}
Y1 = – (X – 2) – (X + 2)
Y1 = – X + 2 – X – 2
Y1 = –2X
II ) X ∈ (–2;2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «+»}
Y2 = – (X – 2) + (X + 2)
Y2 = – X + 2 + X + 2
Y2 = 4
III) X ∈ (2; +∞) {1 модуль с «+» , 2 модуль с «+»}
Y3 = (X – 2) + (X + 2)
Y3 = 2X
Вот такая галочка получилась из трех кусочков различных функций.
Вы уже заметили, что все модульные функции являются кусочно заданными? Их особенностью является то, что они существуют только на определенных интервалах.
Главное в модулях – понять закономерности. Дальше все пойдет как по маслу. Надеюсь, мне удалось хоть немного прояснить график модуля, как его построить и не надорваться в счете.
Остались вопросы? – обращайтесь! Я с удовольствием проведу первую консультацию бесплатно. Запишитесь на первое бесплатное занятие: напишите мне на почту или в сообщениях ВКонтакте)
До встречи, Ваш Михаил
