Описанная окружность

Вокруг прямоугольного треугольника

Центр окружности лежит на середине гипотенузы
CO – медиана
CO = R

Вокруг произвольного треугольника

Центр описанной окружности – это центр пересечения серединных перпендикуляров
CO = BO = AO = R – радиусы окружности
OH1 ; OH2 ; OH3 – серединные перпендикуляры
Серединный перпендикуляр – прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.

Вокруг правильного многоугольника

На примере правильного шестиугольника.
Любой правильный многоугольник можно разбить на треугольники.
Угол AOF = 360°/n = 60° {в данном случае получаются правильные треугольники}

В других случаях, сторону многоугольника {a} находим по теореме косинусов
Высоту {h} находим по теореме пифагора

Вокруг произвольного четырехугольника

Описать окружность вокруг четырехугольника можно только если:

Сумма противоположных углов 180°

A + C = B + D

Вписанная окружность

В треугольник

Центр описанной окружности — центр пересечения биссектрис

AO ; CO ; BO – биссектрисы

В четырехугольник

Суммы противоположных сторон попарно равны

AB + CD = BC + DA

В правильный многоугольник

Радиус вписанной окружности равен высоте треугольника